∀a,b∈X ∃ n: a < nb
-1)b =< a < nb
cioe' a∈[(n-1)b,nb)
Il significato della proprieta' archimedea si apprezza nell'ambito della teoria
della misura.
Pensiamo di avere scelto un "metro" di riferimento, rispetto al quale
vogliamo confrontare gli altri elementi;
la proprieta' archimedea ci assicura che comunque sia grande l'elemento da
confrontare col metro, componendo abbastanza metri ottengo un riferimento piu'
grande del pur grande elemento che mi viene sottoposto a misurazione.
La proprieta' archimedea e' un legame tra composizione e ordine.
In altre parole: la proprieta' archimedea assicura che tutti gli elementi del
semigruppo si possano misurare col sistema del grado intero per difetto/eccesso.
Cio' e' ritenuto del tutto naturale in una visione intuitiva; e' la ragione che
ci puo' far considerare ordini in cui cio' non e' vero
es: 1 2 3 ... fino all'infinito; 1 2 ...
cioe' 2 ordini infiniti uno di seguito all'altro; anche se sembra strano con
insiemi ordinati infiniti, la serie di 2 ordini e' un ordine! La successione dei
multipli non riesce mai ad arrivare al 2° insieme, quindi questo e' un ordine in
cui non vale la proprieta' archimedea.