^^MAK. s1 s2 ∆t.

MAK con diversa accelerazione a. Tempo totale T.

T   

      1
      2
      3
      4
      6
      12
       

s1

s2    

 

Ho considerato questa disposizione sperimentale invece della fotocellula posta alla partenza, poiche' posizionare la fotocellula esattamente alla partenza e' difficoltoso e cmq impreciso, o meglio: non ho ancora capito quanto puo' essere preciso. Come metodo sperimentale dovrei misurare in entrambi i modi e confrontare i risultati.

Un piccolo errore di posizione alla partenza si traduce in un errore di tempo che a MAK avviato si traduce in una imprecisione di posizione sempre maggiore man mano che la velocita' aumenta.

s1 s2 ∆t sono sufficienti per determinare il MAK ? Conclu:

Il tempo-durata di transito, individua-identifica il MAK-accelerazione, poiche' ogni MAK-accelerazione produce una durata di transito diversa.

Formule >>>

  √s2 - √s1   
a = 2(
)
  ∆t  
     
∆t =  √2(√s2 - √s1) 

√a

Approfond

Dmd

Il rapporto tra i tempi di transito tra le fotocellule, di 2 MAK, e' uguale al rapporto tra i tempi totali?

Links

Animazione  SVG-SMIL

Ricavare la formula >>>

Si possono considerare 2 casi limite

associati alle formule:

  2s
a = 
  t2
  1 v2
a = 

  2 s

 

s1 → 0 ∆s → 0  
  2s
a → 
  t2
  1 v2
a → 

  2 s
Il caso ∆s → 0
sembra piu' interessante.

E' interessante considerare i casi limite per ...

La soluzione e'

a =  2(√s2 - √s1)
t2

Risolvo

Cominciamo col mentalizzarci. Ecco alcune formule, con v0 = 0, che mi viene spontaneo considerare in questo contesto. Comincio con lo scriverle, forse mi serviranno. Con l'algebra potro' metterle insieme.

t = √( 2s
a
)     Formula generale, che
applicata ai 2 traguardi
 
t1 = √( 2s1
a
)  
t2 = √( 2s2
a
)
∆t = t2 - t1 def
 = √( 2s2
a
)
- √( 2s1
a
)
sost
 =  √2
√a
(√s2 - √s1)
raccolgo a fattor comune
 ∆t =  √2
√a
(√s2 - √s1)
uguaglianza primo e ultimo membro della catena di uguaglianze
 √a =  √2
∆t
(√s2 - √s1)
spostamento in croce: √a da basso-dx a alto-sx. ∆t viceversa.

In totale, scambio in croce: √a con ∆t

a =  2 
(∆t)2
(√s2 - √s1)2
elevo al quadrato entrambi i membri,
e svolgo il quadrato del prodotto

Puo' finire qua, ma non c'e' una ragione, e' una sensazione, poiche' non esiste la forma migliore, bensi' la piu' adatta. Volendo continuare ...

 =  2 
(∆t)2
(s2 + s1 - 2√(s1s2))
svol ()2. Piccola sorpresa: appare √(s1s2)
interpretabile come media geometrica di s1 e s2 .
 =  4 
(∆t)2
( s2 + s1 
2 
 - √(s1s2))
l'occhio vede s2 + s1 , e lo elabora per far comparire
la media aritmetica

e' "saltata fuori" (con una spintarella) la differenza tra la media aritmetica e la media geometrica !

Incidentalmente abbiamo dimostrato che: la media aritmetica e' maggiore della media geometrica.
Perche'? R: ...

 

Puo' finire qua.

 

Pero' voglio trovare una formula approssimata quando s1 e s2 sono vicini, basata sull'approssimazione che:

 

d: (In una fase del MAK) Quando-dove la velocita' istantanea raggiunge il valore della velocita' media (pensando al suo aumento a partire dall'inizio del tratto) ?

 

Provo

   
 =  2 
∆t
( v2 + v1 
2 
 - √(v1v2))
 
 =  2
∆t
( ∆s
∆t
 - √(v1v2))
 
 =  4 
(∆t)2
( s2 + s1 
2 
 - √(s1s2))

non so dove vado a finire, interrompo (17ott2012)

Provo2

Uso l'approssimaz "radice linearizzata" √(1+x) = 1+x/2.

Parto da
a =  2 
(∆t)2
(√s2 - √s1)2
 
arrivo a
  1 vm2
a = 

  2 s1

Approssim applicando l'approssimazione per limite ∆s → 0

  1 v2
a = 

  2 s
  1 v2
a = 

  2 s
sost

v = vm
s = sm

 

  1 vm2
a = 

  2 sm
sost
v = vm =   s2 - s1 
∆t
 =   v2 + v1 
2

 

s = sm =  s2 + s1 
2 
  1
2
(  s2 - s1 
∆t
)2
 = 
 
s2 + s1 
2 

 

credo che sia piu' precisa di quella della radice linearizzata, ma e' un'intuizione.

 

Guida ins

Titolo

  1. MAK. s1 s2 ∆t.
    c: originale. E' stato questo poiche' la prospettiva era: da s1 s2 ∆t, ricavare a.
  2. s1 s2 ∆t a
    c: forse e' meglio poiche' sono dichiarati i personaggi, poi esistono i rivolti. Pero' questo e' il caso in esame; in generale 3 grandezze determinano le rimanenti

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  2  
a = 
(√s2 - √s1)2
  (∆t)2  
  2 (√s2 - √s1)2
a = 
  (∆t)2
  2 (√s2 - √s1)2
a = 
(∆t)2
 

 

  2
(∆t)2
(√s2 - √s1)2
a = 
 
  2 
(∆t)2
(√s2 - √s1)2
a = 
 
a =  2 
(∆t)2
(√s2 - √s1)2

 

 

  1 vm2
a = 

  2 s1
a =  1
2
vm2
s1

 

uguaglianza primo e ultimo membro della catena di uguaglianze

√a
 =  √2
∆t
(√s2 - √s1)
 

 

a =  2 
(∆t)2
(√s2 - √s1)2
 
eventual
svolg ()2
 =  2 
(∆t)2
(s2 + s1 - 2√(s1s2))
 
 =  4 
(∆t)2
( s2 + s1 
2 
 - √(s1s2))