^^La cinematica e il calcolo differenziale infinitesimale.
v=x' a=x"
la velocita' |
e' la derivata prima |
della posizione, e |
l'accelerazione |
e' la derivata seconda |
|
Precisiamo-esplicitiamo il legame col tempo
x v a posizione velocita' e accelerazione sono funzioni del tempo,
esprimibile ad es con x=x(t) v=v(t) a=a(t): ad un
valore di tempo-istante corrisponde 1 valore di x v a; nella notazione cio' puo'
essere implicito o esplicito, es: v=x' o v(t)=x'(t)
x |
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xt |
posizione x |
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in funz del tempo t, corrispondente al tempo t |
v=x' |
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vt=x't |
velocita' v |
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in funz del tempo t, corrispondente al tempo t |
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derivata prima x' della x |
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in funz del tempo t, corrispondente al tempo t |
a=x" |
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at=x"t |
accelerazione a |
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in funz del tempo t, corrispondente al tempo t |
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derivata seconda x" della x |
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in funz del tempo t, corrispondente al tempo t |
Notazioni alternative
Posizione, funzione del tempo |
xt |
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x(t) |
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x=x(t) |
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x(t)=f(t) |
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x=f(t) |
Velocita', derivata |
vt=x't |
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v(t)=x'(t) |
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v=x'(t) |
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v(t)=f'(t) |
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v=f'(t) |
Acceleraz, derivata 2a |
at=x"t |
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a(t)=x"(t) |
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a=x"(t) |
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a(t)=f"(t) |
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a=f"(t) |
Il legame tra cinematica e calcolo differenziale
Si tratta di riconoscere che: v=x' e a=x".
Il caso funzione polinomio di 2° (della posizione in funzione del tempo). Confronto
tra la notazione standard cinematica e matematica.
Velocita' e accelerazione della cinematica diventano derivata prima e seconda
del calcolo differenziale infinitesimale, e a questi significati specifici x v a
si sostituiscono in matematica coefficienti generici che rendono il polinomio in
forma canonica.
Ricaviamo velocita' e accelerazione dal polinomio in t di 2° grado, derivando rispetto al tempo
x(t)= a0 + a1*t + a2*t2 |
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x(0)= a0 |
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x'(t)= a1 + 2*a2*t |
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x'(0)= a1 |
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x"(t)= 2*a2 |
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x"(0)= 2*a2 |
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x"(t)= 2*a2 e' costante! In simboli: x"(t)=x"(0)= k
Notazione: i coefficienti del polinomio di solito si indicano con la lettera
a, an.
Posizione, velocita' e accelerazione nel moto ad accelerazione costante ak
x(t)= x0 + v0*t + (1/2)*a*t2 |
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x(0)= x0 |
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v(t)= v0 + a*t |
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v(0)= v0 |
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a(t)= a |
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a(0)= a |
|
a(t)= a= a0 e' costante! In simboli: a(t)=a(0)= k
Confronto immediato
Dipende dalla mentalizzazione. Forse il modo piu' semplice-immediato e':
guardiamo alla formula cinematica x(t) come caso particolare di polinomio:
x(t)= x0 + v0*t + (1/2)*a*t2
x(t)= a0 + a1*t + a2*t2
a0=x0 a1=v0
a2=(1/2)*a
Riscriviamo x=f(t) per il moto acceleraz cost
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1 |
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xt= x0 + v0*t +
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*a*t2 |
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2 |
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la solita scrittura usuale |
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1 |
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x(t)= x(0) + x'(0)*t +
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*x"(0)*t2 |
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2 |
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Riscritture per evidenziare: la struttura funzionale e le derivate
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1 |
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f(t)= f(0) + f'(0)*t +
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*f"(0)*t2 |
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2 |
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Col simbolo f piuttosto che x |
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1 |
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f(x)= f(0) + f'(0)*x +
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*f"(0)*x2 |
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2 |
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Come funzione di x piuttosto che di t |
Alter espo
1 |
vt=f'(t) |
la velocita' |
e' la derivata prima |
della posizione |
2 |
at=f"(t) |
l'accelerazione |
e' la derivata seconda |
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Precis
Detto: |
x |
posizione |
|
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si ha: |
v=x' |
la velocita' |
e' la derivata prima |
della posizione |
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a=x" |
l'accelerazione |
e' la derivata seconda |
|
Precis
Detto: |
xt |
posizione |
|
|
si ha: |
vt=x't |
la velocita' |
e' la derivata prima |
della posizione |
|
at=x"t |
l'accelerazione |
e' la derivata seconda |
|
xt |
posizione x |
in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t |
vt |
velocita' v |
in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t |
at |
accelerazione a |
in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t |
Links
- Le formule della cinematica scritte come polinomi
in funzione del tempo.
- Confronto cinematica e dinamica moto
traslatorio e rotatorio.
- Relazione fondamentale
tra i coefficienti del polinomio-funzione e le sue derivate.
- Energia potenziale e calcolo
differenziale infinitesimale.
- ix Calcolo differenziale, finito
e infinitesimale