^^Svuotamento cilindroide bucato: cinematica del livello.

Per studiare lo svuotamento le funzioni sono:

v= √(2gh)    velocita' getto idrostatico

v= √(2as)    velocita' dopo uno spostamento s in MAK (partenza da fermo)

v= √(2gh)    velocita' finale di discesa (partenza da fermo)

v= √(2gh)    velocita' getto idrostatico

Il centro di tutto il fenomeno e': la velocita' all'uscita dal foro, da cui poi consegue tutta la cinetica.

La conclusione e': il moto del livello e'  MAK

con la condizione finale del fenomeno, che: h=0 e v=0. In simboli spefici h_f=0 e v_f=0.

Quanto vale questo tempo finale t_f?

h(t_f) = 0  e  v(t_f) = 0   dida: Attenzione! questa e' la notazione funzionale.

v_f=0    v_t=v₀+at     0=v₀+at    t= -v₀/a

a= v₀²/2h₀   E' la condizione affinche' il vertice d parabola sia sull'asse x.

Ref: Le formule della cinematica scritte come polinomi in funzione del tempo.

Questione di segni e riferimenti

Forma trovata in letteratura

h(t) = ( √h₀ - (1/2)*k*t )²
k= √(2g)*a/A

h = sovralivello del livello di uscita

Questa forma evidenzia che la funzione polinomio di 2° e' il quadrato di un binomio. Cio' permette dire: il suo grafico e' una parabola col vertice sull'asse delle x. Si calcola facilmente il valore dello zero, che come interpretazione e' il tempo di svuotamento.

Forme alter

Raccogliendo √h₀  a fattor comune

h(t) = h₀*( 1 - (1/2)*k*t )²           k= √(2g/h₀)*a/A

Sviluppando il quadrato del binomio

h(t) = h₀ - √h₀*k*t +(1/4)*k²*t²

Notazione

C'e' un problema di copresenza tra area e accelerazione. Adesso capisco perche' forse in letteratura avevo trovato per l'area del foro σ (sigma).

• 7mag2007.  Finora per l'area del foro io ho usato "a minuscolo"; potrei usare B per buco, e senza variazioni "A" per l'area del recipiente. Siccome accelerazione compare meno e appare ora, cambio lei usando a.
• 3mar2009.  Pero' se si arriva qui perche' si sta introducendo la cinematica tramite i travasi, allora la formula principale e' quella cinematica, per cui la lettera "a" va riservata per l'accelerazione.

ref: Sovraccarico semantico delle lettere come abbreviazioni. Conflitto di attribuzione lettere.

Terminologia

• Legge oraria dell'altezza. Orifizio.
• y(t)= at²+bt+c     oppure y(t)= a+bt+ct², cioe' ordinare secondo le potenze di grado decrescente o crescente.
• h(t) = a - b*t +c*t²   e' un polinomio di 2° con il coefficiente di 1° grado negativo. La questione e' se i inumeri negativi vengono indicati da una lettera, o con segno scorporato.

Ragionamento

v_L = v_G * a/A   >>>

v_G = √(2gh)   la velocita' di fuoriuscita e' proporzionale alla radice quadrata dell'altezza

da cui:

v_L = √(2gh) * a/A

Andamento iniziale, pendenza iniziale

Con questo modo di dire-pensare, si intende una prima fase in cui si puo' ritenere costante la velocita'.

h(t)= h₀ +v_L*t

v_L = - √(2gh) * a/A

Come proseguirebbe il fenomeno se continuasse con la velocita' iniziale? in quanto tempo si esaurirebbe?

Sono domande standard.

Calc cinematica livello  2004.xls           2007.xls

Tempo di svuotamento

t= √h₀ /((1/2)*k)

Avendo a disposizione la funzione matematica h(t), il tempo di svuotamento si puo' calcolare risolvendo l'equazione h(t)=0.

Oss

Si noti che se la sezione S non è costante, la legge oraria dell’ altezza h non è più quella trovata, e con opportuna geometria del contenitore si può rendere lineare nel tempo la discesa della colonna di liquido.

Alter espo

(radq(h₀) - (1/2)*k*t )^2
k= radq(2g)*a/A

Titolo

Svuotamento bottiglia bucata: cinematica del livello.
c: ho poi preferito "cilindroide" al posto di "bottiglia", poiche' ho voluto sottolineare che la formula si basa sulla costanza della sezione.

Ricerca. Della soluzione di un'equazione differenziale. >>>

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Vecchie notazioni, ora scartate

Accelerazione indicata con alfa