^^Funzione crescente, decrescente, monotona, monotona a pezzi.

	f(x)= x2			x≤0 f decresce stret x1<x2 ⇒ x12>x22 -3<-2 ⇒ +9>+4
				x≥0 f cresce stret x1<x2 ⇒ x12<x22 2<3   ⇒  4<9

dim: discende dalle proprieta' delle op coi nr reali.

Funzione

crescente, non decrescente, debolmente crescente

• ∀a,b ∈domf    a≤b ⇒ f(a)≤f(b)

strettamente crescente

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)<f(b)

decrescente, non crescente, debolmente decrescente

• ∀ a,b ∈domf   a≤b ⇒ f(a)≥f(b)

strettamente decrescente

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)>f(b)

monotona

• o e' crescente, o decrescente.

strettamente monotona

• o e' strettamente crescente, o strettamente decrescente.

Teoremi semplici

(dai matematici sono fatti dati per scontati, al massimo messe in un elenco di proprieta' banali. Lo studente dovrebbe accertarsi di saperle dimostrare.)

Conseguenza logica, ma che suona strana:

• una funzione costante e' sia crescente che decrescente.

Le funzioni costanti sono le sole crescenti e decrescenti;
non sono strettamente monotone.

Una funzione crescente puo' essere strettamente crescente.

Una funzione strettamente crescente e' crescente.

Teo: una funzione strettamente crescente e' iniettiva.

dim: [a<b ⇒ f(a)<f(b)]    ⇒   a≠b  e  f(a)≠f(b)

Teo: una funzione iniettiva e' invertibile, restringendo il codominio all'immagine del dominio.

Teo: criterio di monotonia basato sulla derivata

se f e' derivabile in un intervallo I, in I si ha:

• Df≥0 ⇔ f cresce (debolmente)
  Df≤0 ⇔ f decresce (debolmente)
• Df>0 ⇒ f cresce strettamente
  Df<0 ⇒ f decresce strettamente.
  Non valgono le implicazioni inverse, es:
  f(x) = x³ , è strettamente crescente, ma (Df)(0) = 0.

1/x ha derivata D(1/x)= -1/x² sempre negativa ...

ma la funzione non e' decrescente poiche' ...

la derivata non e' su un intervallo, poiche' non e' definita in x=0, poiche' non lo e' la primitiva;

• e' decrescente nell'intervallo x<0
• e' decrescente nell'intervallo x>0,
• ma nel transito c'e' un'inversione dell'ordine.

Esempi

p: determinare gli intervalli in cui le seguenti funzioni risultano crescenti e quelli in cui risultano decrescenti.
1. f(x) = x². Studiamo il segno della derivata:

f'(x) = 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0       f crescente ⇔ x ≥ 0

f'(x) = 2x < 0 ⇔ x < 0     f decrescente strettamente ⇔ x < 0;
Dimostrando ulteriormente si potrebbe giungere alla conclusione: x≤0 f decresce stret, x≥0 f cresce stret.
2. g(x) = (x²−3)e^x. Si ha: g'(x) = (x²+2x−3)e^x

g'(x)≥ 0 ⇔ [x ≤ −3  ⋁  x ≥ 1]; g'(x)<0 ⇔ x∈(−3, 1).
Quindi: f crescente se x∉[−3, 1]; decrescente se x∈(−3, 1).

Links

Andamento di una corrispondenza, di un grafico.

Studio di funzione.

Approfond

Ambiente della definizione

L'ambiente piu' generale in cui la definizione ha senso e' quello di funzione tra 2 spazi ordinati.

dida:

passare dalla disuguaglianza di numeri reali alla def di disuguaglianza di funzioni reali di variabile reale

La stessa cosa puo' essere detta da 2 versanti:

- versante: variabili
- versante: funzioni, dipendenze

Links

Variabili concordi e discordi; dipendenza concorde e discorde.

Alter espo

La stessa cosa puo' essere detta da 2 versanti:

- versante: variabili
- versante: funzioni, dipendenze

Talk

Titolo alter

Funzioni mono-tone de/crescenti. Dipendenze variazioni variabili con/dis-cordi per variabili ordinate.

Appunti da sistemare

Funzione monotona

Riferendoci all'asse cartesiano, sono monotone le linee, formate da una successione di punti, che seguono la stessa direzione.
Essa puo' essere crescente (C) o decrescente (D), come illustra la fg2; essa, pero', puo' anche essere monotona a pezzi nel senso che una parte di linea (che nell'insieme e' considerata non monotona) formata da punti che nel tratto in esame seguono la stessa direzione, puo' essere considerata monotona (fg3).

fg2: funzione monotona crescente (C) e decrescente (D)
fg3: funzione monotona a pezzi

Cio' che abbiamo appena detto, puo' essere scritto anche in termini letterali (fg.4)

fg.4: per ogni valore di a e b appartenenti al dominio F

Residuo-museo solo testo

Le variabili sono  |  La dipendenza e'
-------------------+------------------
con-cordi          |    crescente
dis-cordi          | de-crescente

Museo solo ascii

Funzione CRESCENTE (def)
po a,b ap domf
-        se a<b  segue che: f(a)<f(b)
- equi:  se a>b             f(a)>f(b)

Funzione DECRESCENTE (def)
-       se a<b  segue che: f(a)>f(b)
- equi:    a>b             f(a)<f(b)

Come poteva essere

Funzione CRESCENTE

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)<f(b)

Funzione DEBOLMENTE CRESCENTE

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)≤f(b)

Funzione DECRESCENTE

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)>f(b)

Funzione DEBOLMENTE DECRESCENTE

• ∀ a,b ∈domf   a<b ⇒ f(a)≥f(b)